Calcular cual es el menor número natural en cuyo factorial se encuentra determinado factor primo elevado a determinado exponente Reportar como inadecuado




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Observemos, ante todo, que, eligiendo los datos al azar, el problema no es siempre resoluble. Basta considerar, por ejemplo, que los respectivos exponentes de 7 en 343 = 73 y en 342 han de diferir entre sí en 3 unidades, de modo que no existirá ningún número en cuyo factorial se encuentre 7 elevado a un exponente intermedio

Tipo de documento: Artículo - Article

Palabras clave: Exponente, factor primo, algoritmo





Fuente: http://www.bdigital.unal.edu.co


Introducción



OALCULAR CUAL ES EL NUMERO NATURII.LEN liIENOR curo FACTORIAL SE ENCUENTRA DETERMINADO FACTOR PRIMO ELEVADO A DETERMINADO EXPONENTE. Por ROBERTO NAVARRO GONZALEZ (Fac.
de Minas, U. Observemos, N.) ante todo, que., eligiendo los datos al azar, el prob1~. ma no es sier~re resoluble.
Basta considerar, por ejemplo, que los respectl 7 en 343 = 73 y en 342 han de diferir entre si en 3 unid~ vos exponentes de des, de.modo que no existira ningUn numero en cuyo factorial se encuentre 7 elevado a un exponente interrnedio. La forma clasica de resolver este problema, citada en gebraico de Rey Pastor, atribuyendola Supongamos que elevado a~. .n es Analisis a1 a Legendre, es la siguiente: e1 niimero en cuyo factorial est a el prim0.E.
- Sabemos que este exponente es igual a la suma de los cocientes obtenidos dividiendo reiteradamente n p rl ql r2 .n por.E.
Representemos estas divisiones (1) admitiendo, oiente nulo. a fin de fijar imagenes, que a·1a cuarta division se tenga co-Entonces tendrel:ios: y por otra parte resulta (3) n = Expresando mediante e·Bie Bimbolo que .n tiene las cifras r , r3, r yrl en 4 2 .n en base .E.,tendremos: base .E.Si llamamos ~ a la Burna de las cifras de 27 s De las divisioues dadhs, resulta: n = pql rl ql= pq2 r2 q2= W3 r3 q3= r 4 Sumando estas igualdades, queda: Y teniendo en cuenta las expresiones de ~ y de ~ dadas en (2) y - en (4) respectivamente: n k D pk s n = (p -l)k s de 10 cual se deduce la siguiente regIa: El nu-ero buacado es Lgua l al producto del factor primo disminu,i do en una unidad por el exponente, mas la auaa de las cifras del propio n~ mere buscado cuando dLcho numero ae escribe en base ~ • Por otra parte ti~ ne que cumplirse que n = p (3) (multiplo de p) ya que c~ando ~ varia desde un mUltiplo de ~ hssta el numero inmediatamen_ te inferior al siguiente mUltiplo, el exponente de ~ permanece invariable, y crece en ~na 0 mas unidades .justamente al alcanz...






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