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1 LAMA - Laboratoire d-Analyse et de Mathématiques Appliquées

Abstract : In this thesis, we study minimization problems for discrete energies and we search to understand why a periodic structure can be a minimizer for an interaction energy, that is called a crystallization problem. After showing that a given Bravais lattice of R^d submitted to some parametrized potential can be viewed as a local minimum, we prove that the triangular lattice is optimal, among Bravais lattices of R^2, for some energies per point, with or without a fixed density. Finally, we prove, from Sandier and Serfaty works about 2D Coulomb gases, Rakhmanov-Saff-Zhou conjecture, that is to say the existence of a term of order n in the asymptotic expansion of the optimal logarithmic energy for n points on the 2-sphere. Furthermore, we show the equivalence between Brauchart-Hardin-Saff conjecture about the value of this term of order n and Sandier-Serfaty conjecture about the optimality of triangular lattice for a coulombian renormalized energy

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de minimisation d-énergies discrètes et nous cherchons à comprendre pourquoi une structure périodique peut être un minimiseur pour une énergie d-interaction, c-est ce que l-on appelle un problème de cristallisation. Après avoir montré qu-un réseau de R^d soumis à un certain potentiel paramétré peut être vu comme un minimum local, nous démontrons des résultats d-optimalité du réseau triangulaire parmi les réseaux de Bravais du plan pour certaines énergies par point, avec ou sans densité fixée. Finalement, nous démontrons, à partir des travaux de Sandier et Serfaty sur les gaz de Coulomb bidimensionnels, la conjecture de Rakhmanov-Saff-Zhou, c-est-à-dire l-existence d-un terme d-ordre n dans le développement asymptotique de l-énergie logarithmique optimale pour n points sur la sphère unité de R^3. De plus, nous montrons l-équivalence entre la conjecture de Brauchart-Hardin-Saff portant sur la valeur de ce terme d-ordre n et celle de Sandier-Serfaty sur l-optimalité du réseau triangulaire pour une énergie coulombienne renormalisée

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Keywords : 7th Smale-s Problem Coulomb Gases Potentials Lattices

Mots-clés : Réseaux Energies Interaction Potentiels Gaz de Coulomb 7ème Problème de Smale





Autor: Laurent Betermin -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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