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1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Abstract : The numerical resolution of any discretization of nonlinear PDEs most often requires an iterative algorithm. In general, the discretization of partial differential equations leads to large systems. As the resolution of large systems is very costly in terms of computation time, an important question arises. To obtain an approximate solution of good quality, when is it necessary to stop the iteration in order to avoid unnecessary iterations? A posteriori error indicators have been studied in recent years owing to their remarkable capacity to enhance both speed and accuracy in computing. This thesis deals with a posteriori error estimation for the finite element discretization of nonlinear problems. Our purpose is to apply a new method that allows us to reduce the number of iterations of the resolution system while keeping a good accuracy of the numerical method. In other words, our goal is to apply a new method that provides a remarkable gain in computation time. For a given nonlinear equation we propose a finite element discretization relying on the Galerkin method. We solve the discrete problem using two iterative methods involving some kind of linearization. For each of them, there are actually two sources of error, namely discretization and linearization. Balancing these two errors can be very important, since it avoids performing an excessive number of iterations. Our results lead to the construction of computable upper indicators for the full error. Similarly, we apply this approach to the Navier-Stokes equations. Several numerical tests are provided to evaluate the efficiency of our indicators.

Résumé : La résolution numérique de n’importe quelle discrétisation d’équations aux dérivées partielles non linéaires requiert le plus souvent un algorithme itératif. En général, la discrétisation des équations aux dérivées partielles donne lieu à des systèmes de grandes dimensions. Comme la résolution des grands systèmes est très coûteuse en terme de temps de calcul, une question importante se pose: afin d’obtenir une solution approchée de bonne qualité, quand est-ce qu’il faut arrêter l’itération afin d’éviter les itérations inutiles ? L’objectif de cette thèse est alors d’appliquer, à différentes équations, une méthode qui nous permet de diminuer le nombre d’itérations de la résolution des systèmes en gardant toujours une bonne précision de la méthode numérique. En d’autres termes, notre but est d’appliquer une nouvelle méthode qui fournira un gain remarquable en terme de temps de calcul. Tout d’abord, nous appliquons cette méthode pour un problème non linéaire modèle. Nous effectuons l’analyse a priori et a posteriori de la discrétisation par éléments finis de ce problème et nous proposons par la suite deux algorithmes de résolution itérative correspondants. Nous calculons les estimations d’erreur a posteriori de nos algorithmes itératifs proposés et nous présentons ensuite quelques résultats d’expérience numériques afin de comparer ces deux algorithmes. Nous appliquerons de même cette approche pour les équations de Navier-Stokes. Nous proposons un schéma itératif et nous étudions la convergence et l’analyse a priori et a posteriori correspondantes. Finalement, nous présentons des simulations numériques montrant l’efficacité de notre méthode.

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Keywords : Nonlinear problems

Mots-clés : Critère d-arrêt Maillage adaptatif Navier-Stokes Problèmes non linéaires Algorithmes itératifs Analyse a posteriori





Autor: Jad Dakroub -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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