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1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

Abstract : We consider irreducible tracefree non-singular or meromorphic rank 2 connections over compact Riemann surfaces of arbitrary genus. By deforming the curve, the position of the poles and the connection, we construct the universal isomonodromic deformation of such a connection. Our construction, which is specific to the tracefree rank 2 case, does not need any Stokes analysis for irregular singularities. It is thereby more elementary than the construction in arbitrary rank due to B. Malgrange and I. Krichever and it includes the case of resonant singularities in a natural way. We prove that the underlying vector bundle is generically maximally stable along the universal isomonodromic deformation, provided that the initial connection is irreducible. For that purpose, we use an analytic version of M. Maruyama-s semicontinuity-result and we explain the problem geometrically in terms of transversality in foliations. By means of explicit examples we show that the irreducibility-condition is necessary and that the analytic set of parameters which are non-generic in the above sens can be non-algebraic.

Résumé : Nous considérons les fibrés à connexion non-singulière ou méromorphe, de rang 2 et sans trace sur les surfaces de Riemann compactes de genre quelconque. En déformant la courbe, la position des pôles et la connexion, nous construisons la déformation isomonodromique universelle d-un tel fibré à connexion. Notre construction spécifique au cas du rang 2 et sans trace est plus élémentaire que la construction en rang quelconque due à B. Malgrange et I. Krichever au sens où elle ne nécessite pas d-analyse de Stokes des singularités irrégulières. De plus, elle englobe le cas des singularités résonantes de manière naturelle.Nous montrons que le fibré vectoriel sous-jacent à la déformation isomonodromique universelle est génériquement -maximalement- stable, pourvu que le fibré à connexion initial soit irréductible. À cette fin, nous démontrons une version analytique du résultat de semicontinuité de M. Maruyama, puis nous nous ramenons à un problème de transversalité de feuilletages. À l-aide d-exemples explicites, nous montrons que la condition d-irréductibilité est nécessaire et que l-ensemble analytique des paramètres non génériques au sens ci-dessus peut être non algébrique.

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Keywords : isomonodromic deformation meromorphic connection Riemann-Hilbert problem stable vector bundles

Mots-clés : déformation isomonodromique connexion méromorphe problème de Riemann-Hilbert fibrés vectoriels stables





Autor: Viktoria Heu -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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