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1 CPT - Centre de Physique Théorique - UMR 6207

Abstract : In this thesis, we introduce a piecewise isometric system generalising a known example. It is shown to display an infinite number of periodic points following a selfsimilar structure. The first-return map into one of its atom is a piecewise isometry defined over a selfsimilar partition with an infinite number of atoms having exponentially increasing return-times. The displayed self-similarity describes only a part of the dynamics, but it is stable under continuous variations of the main parameter. This property enables us to identify the geometric and algebraic conditions involved in the birth of a self-similar scheme. We then give general assumptions which imply not only the existence of families of periodic cells whose codes follow a substitutive scheme, but the existence of a non-empty set of aperiodic points. This set is fractal, it can be described by a graph-directed construction and its Hausdorff dimension can be computed explicitly. Moreover, we show that the geometric structure leads naturally to measure-theoretic conjugate the dynamics with a Vershik map over a stationary Bratteli diagram, which is uniquely ergodic under natural primitivity conditions. This coding can be ``translated- into the regular coding of the piecewise isometry, leading to a substitution dynamical system.\\ The given framework is general enough to handle many of the piecewise isometries studied up to now. We use it to show that the system mentioned above has an invariant measure with an infinite number of ergodic components.

Résumé : Dans cette thèse, on commence par présenter l-étude d-un système dynamique isométrique par morceaux généralisant un exemple connu. On montre qu-il exhibe une infinité de points périodiques hiérarchisés par une structure auto-similaire. L-application de premier retour dans un de ses atomes est une isométrie par morceaux définie sur une partition auto-similaire comportant une infinité d-atomes dont le temps de retour croit exponentiellement. L-auto-similarité observée n-est que partielle, elle ne décrit pas toute la dynamique, mais elle est préservée quand on varie le paramètre principal de manière continue. Cela permet d-identifier les conditions sous lesquelles une auto-similarité est possible. On dégagera ainsi des hypothèses générales qui ont de nombreuses conséquences intéréssantes. En particulier, outre l-existence éventuelle de familles de cellules périodiques descriptibles par un schéma substitutif, on montrera qu-il doit exister un ensemble non vide de points apériodiques. Cet ensemble est fractal, il peut être construit comme un attracteur d-I.F.S graphe-dirigé et sa dimension de Hausdorff peut être calculée. On montrera aussi que la structure géométrique amène tout naturellement à coder la dynamique par une application de Vershik sur un diagramme de Bratteli stationnaire, uni-ergodique sous des conditions naturelles de primitivité. Ce codage particulier peut être -traduit- dans le langage standard de l-application. Cette dynamique symbolique-ci est alors un système substitutif.\\ Le cadre présenté est suffisament général pour englober la plupart des cas particuliers étudiés jusqu-alors. A titre d-application, on l-utilise pour montrer que le système cité ci-dessus possède une mesure invariante dotée d-une infinité de composantes ergodiques.

en fr

Keywords : Piecewise isometries selfsimilarity graph-directed contructions Bratteli diagrams

Mots-clés : Isometries par morceaux auto-similairite fractals constructions graphe-diriges diagrammes de Bratteli substitutions





Autor: Guillaume Poggiaspalla -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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