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1 EDP - Equations aux dérivées partielles IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

Abstract : In this thesis, a fourth order compact scheme on a Cartesian grid is introduced for the Poisson problem in a square or in a cube. This scheme is an ¨Hermitian Box scheme¨. It combines a finite volume box approach with an Hermitian calculation of the derivative as in mixed methods. The value of u et ∇u at each node are calculated. In addition, only average values of the source term fx, y is required by the solver. This is an important propertye.g. in electromagnetism. The main part of the report presents the implementation of a fast solver based on a decomposition of the matrix into a diagonal part and of a low rank auxiliary matrix. The fast solver uses the Sherman-Morrison-Woodbury formula and the FFT. The implementation in the 3D case is presented to assess the interest of the scheme for practical problems.

Résumé : Dans cette thèse, on introduit un schéma compact d’ordre quatre sur une grille cartésiennepour le problème de Poisson dans un carré et dans un cube. Ce schéma, de type -boîte hermitien-, combine une approche volumes finies boîte avec un calcul hermitiende la dérivée comme dans les méthodes mixtes. Il fournit par construction uneapproximation de u et ∇u aux nœuds. De plus il utilise seulement les moyennes du terme source fx, yet non pas les valeurs ponctuelles fxi, yj. C’est une propriété intéressantedans l’approximation de problèmes en électromagnétisme.La partie essentielle du mémoire présente la mise au point d’une procédure derésolution rapide utilisant la décomposition de la matrice du schéma en une sommed’une matrice diagonale dans une base spectrale et d’une matrice auxiliaire de rangpetit. La résolution est effectuée par un algorithme de résolution directe utilisant laformule de Sherman-Morrison-Woodbury et la FFT. Limplémentation en 3 dimensions dans un cube est présentée, afin de prouver l’intérêt de la méthode pour lesapplications.

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Keywords : fast solver

Mots-clés : différences finies - Schéma boîte - Problème de Poisson - FFT - Solveur rapide





Autor: Ali Abbas -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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