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1 CERMICS - Centre d-Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique

Abstract : This work is organized in two themes : i A novel numerical method to price options on manyassets, ii The liquidity risk, the limit order book modeling and the market microstructure.First theme : Greedy algorithms and applications for solving partial differential equations in high dimension Many problems of interest for various applications material sciences, finance, etc involve high-dimensional partial differential equations PDEs. The typical example in finance is the pricing of a basket option, which can be obtained by solving the Black-Scholes PDE with dimension the number of underlying assets. We propose to investigate an algorithm which has been recently proposed and analyzed in ACKM06, BLM09 to solve such problems and try to circumvent the curse of dimensionality. The idea is to represent the solution as a sum of tensor products and to compute iteratively the terms of this sum using a greedy algorithm. The resolution of high dimensional partial differential equations is highly related to the representation of high dimensional functions. In Chapter 1, we describe various linear approaches existing in literature to represent high dimensional functions and we introduce the high dimensional problems in finance that we will address in this work. The method studied in this manuscript is a non-linear approximation method called the Proper Generalized Decomposition. Chapter 2 shows the application of this method to approximate the so-lution of a linear PDE the Poisson problem and also to approximate a square integrable function by a sum of tensor products. A numerical study of this last problem is presented in Chapter 3. The Poisson problem and the approximation of a square integrable function will serve as basis in Chapter 4for solving the Black-Scholes equation using the PGD approach. In numerical experiments, we obtain results for up to 10 underlyings. Second theme : Liquidity risk, limit order book modeling and market microstructure. Liquidity risk and market microstructure have become in the past years an important topic in mathematical finance. One possible reason is the deregulation of markets and the competition between them to try to attract as many investors as possible. Thus, quotation rules are changing and, in general, more information is available. In particular, it is possible to know at each time the awaiting orders on some stocks and to have a record of all the past transactions. In this work we study how to use this information to optimally execute buy or sell orders, which is linked to the traders- behaviour that want to minimize their trading cost. In AFS10, Alfonsi, Fruth and Schied have proposed a simple LOB model. In this model, it is possible to explicitly derive the optimal strategy for buying or selling a given amount of shares before a given deadline. Basically, one has to split the large buy or sell order into smaller ones in order to find the best trade-off between attracting new orders and the price of the orders. Here, we focus on an extension of the Limit Order Book LOB model with general shape introduced by Alfonsi, Fruth and Schied. The additional feature is a time-varying LOB depth that represents a new feature of the LOB highlighted in JJ88, GM92, HH95, KW96. We solve the optimal execution problem in this framework for both discrete and continuous time strategies. This gives in particular sufficient conditions to exclude Price Manipulations in the sense of Huberman and Stanzl HS04 or Transaction-Triggered Price Manipulations see Alfonsi, Schied and Slynko. The seconditions give interesting qualitative insights on how market makers may create price manipulations

Résumé : Ce travail de thèse aborde deux sujets : i L-utilisation d-une nouvelle méthode numérique pour l-évaluation des options sur un panier d-actifs, ii Le risque de liquidité, la modélisation du carnet d-ordres et la microstructure de marché. Premier thème : Un algorithme glouton et ses applications pour résoudre des équations aux dérivées partielles. L-exemple typique en finance est l-évaluation d-une option sur un panier d-actifs, laquelle peut être obtenue en résolvant l-EDP de Black-Scholes ayant comme dimension le nombre d-actifs considérés. Nous proposons d-étudier un algorithme qui a été proposé et étudié récemment dans ACKM06, BLM09 pour résoudre des problèmes en grande dimension et essayer de contourner la malédiction de la dimension. L-idée est de représenter la solution comme une somme de produits tensoriels et de calculer itérativement les termes de cette somme en utilisant un algorithme glouton. La résolution des EDP en grande dimension est fortement liée à la représentation des fonctions en grande dimension. Dans le Chapitre 1, nous décrivons différentes approches pour représenter des fonctions en grande dimension et nous introduisons les problèmes en grande dimension en finance qui sont traités dans ce travail de thèse. La méthode sélectionnée dans ce manuscrit est une méthode d-approximation non-linéaire appelée Proper Generalized Decomposition PGD. Le Chapitre 2 montre l-application de cette méthode pour l-approximation de la solution d-une EDP linéaire le problème de Poisson et pour l-approximation d-une fonction de carré intégrable par une somme des produits tensoriels. Un étude numérique de ce dernier problème est présenté dans le Chapitre 3. Le problème de Poisson et celui de l-approximation d-une fonction de carré intégrable serviront de base dans le Chapitre 4 pour résoudre l-équation de Black-Scholes en utilisant l-approche PGD. Dans des exemples numériques, nous avons obtenu des résultats jusqu-en dimension 10. Outre l-approximation de la solution de l-équation de Black-Scholes, nous proposons une méthode de réduction de variance des méthodes Monte Carlo classiques pour évaluer des options financières. Second thème : Risque de liquidité, modélisation du carnet d-ordres, microstructure de marché. Le risque de liquidité et la microstructure de marché sont devenus des sujets très importants dans les mathématiques financières. La dérégulation des marchés financiers et la compétition entre eux pour attirer plus d-investisseurs constituent une des raisons possibles. Dans ce travail, nous étudions comment utiliser cette information pour exécuter de façon optimale la vente ou l-achat des ordres. Les ordres peuvent seulement être placés dans une grille des prix. A chaque instant, le nombre d-ordres en attente d-achat ou vente pour chaque prix est enregistré. Dans AFS10, Alfonsi, Fruth et Schied ont proposé un modèle simple du carnet d-ordres. Dans ce modèle, il est possible de trouver explicitement la stratégie optimale pour acheter ou vendre une quantité donnée d-actions avant une maturité. L-idée est de diviser l-ordre d-achat ou de vente dans d-autres ordres plus petits afin de trouver l-équilibre entre l-acquisition des nouveaux ordres et leur prix. Ce travail de thèse se concentre sur une extension du modèle du carnet d-ordres introduit par Alfonsi, Fruth et Schied. Ici, l-originalité est de permettre à la profondeur du carnet d-ordres de dépendre du temps, ce qui représente une nouvelle caractéristique du carnet d-ordres qui a été illustré par JJ88, GM92, HH95, KW96. Dans ce cadre, nous résolvons le problème de l-exécution optimale pour des stratégies discrètes et continues. Ceci nous donne, en particulier, des conditions suffisantes pour exclure les manipulations des prix au sens de Huberman et Stanzl HS04 ou de Transaction-Triggered Price Manipulation voir Alfonsi, Schied et Slynko

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Keywords : Greedy algorithm High dimensional partial differential equations Liquidity risk Limit order book Market microstructure

Mots-clés : Algorithme glouton Equation aux dérivées partielles en grande dimension Risque de liquidité Carnet d-ordres Microstructure de marché





Autor: José Arturo Infante Acevedo -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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