en fr Unfolded singularities of analytic differential equations Déploiement de singularités déquations différentielles analytiques Reportar como inadecuado




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1 Université de Montréal, Montréal, Canada

Abstract : The thesis is composed of a chapter of preliminaries and two articles on the theme ofunfolding of singularities of analytic differential equations in a complex domain. Theyare both related to the problem of local analytic classification of parametric familiesof linear systems: When two parametric families of linear systems are equivalent bymeans of an analytic change of coordinates in a neighborhood of the singularity?The article Analytic classification of families of linear differential systems unfold-ing a resonant irregular singularity deals with the question of analytic equivalenceof parametric families of systems of linear differential equations in dimension 2 un-folding a generic resonant singularity of Poincaré rank 1 whose leading matrix is aJordan bloc. The problem is completely solved and the moduli space of analyticequivalence classes is described in terms of a set of formal invariants and a singleanalytic invariant obtained from the trace of the monodromy. Universal unfoldingsare provided for all such singularities.The article Confluence of singularities of non-linear differential equations viaBorel-Laplace transformations investigates bounded solutions of systems of differen-tial equations describing a 1-dimensional center manifold of an unfolded saddle-nodesingularity in a family of complex vector fields. Generally, a system of analytic ODEat a double singular point possesses a unique formal solution in terms of a divergentpower series. The classical Borel summation method associates to it true solutionsthat are asymptotic to the series on certain sectors in the complex plane. The articleshows how to unfold the Borel and Laplace integral transformations of the summa-tion procedure. A new kind of solutions of parameter dependent systems of ODEwith two simple regular singular points unfolding a double irregular singularityare constructed, which are bounded on certain -spiraling- domains attached to bothsingular points, and which at the limit converge uniformly to a pair of the classi-cal sectorial solutions. The method provides a unified treatment for all values ofparameter.

Résumé : La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujetdu déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dansle plan complexe.L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfold-ing a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytiquede familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient unesingularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale estcomposée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sont-elles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisi-nage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classesd’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formelset d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Desdéploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités.Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations viaBorel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes para-métriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une sin-gularité col-nœud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. Engénéral, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède uneunique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peutassocier des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en util-isant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généralisercette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions desystèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularitéirrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deuxpoints singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions secto-rielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte unedescription unifiée pour toutes les valeurs du paramètre.

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Keywords : parametric systems ana- lytic differential equations unfolding irregular singularity Stokes phenomenon normal forms. divergent asymptotic series Borel summation saddle–node singularity

Mots-clés : singularité irrégulière système paramétrique équations différentielles analytiques Phénomène de Stokes série asymptotique déploiement confluence singularité col-nœud forme normale. sommation de Borel





Autor: Martin Klimes -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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