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1 MISTEA - Mathématiques, Informatique et STatistique pour l-Environnement et l-Agronomie

Abstract : In the first part, we propose a new chemostat model in which the bacterial population is mass structured and individual-based and the substrate dynamics are modelized by an ordinary differential equation. We obtain a Markovian process which we describe as random measures. We determine, under a certain normalization of the process, a result of convergence in distribution towards the solution of a system of integro-differential equations. In the second part, we are interested in adaptive dynamic models of the chemostat. We add a mutation mechanism to the individual-based model which was studied in the first part. Under rare mutations and large population size hypotheses, the asymptotical result of the first part allows us to reduce the study of the mutant population to a growth-fragmentation-washout model in a constant environment. We study the extinction probability of this mutant population. We also describe the deterministic model related to the hybrid individual-based model with mutations and we compare these two approaches stochastic and deterministic. In particular we prove that the two approaches lead to the same invasion criteria of a mutant population in a resident population.We present numeric simulations in order to illustrate the mathematical results.

Résumé : Dans une première partie, nous proposons un nouveau modèle de chemostat dans lequel la population bactérienne est représentée de manière individu-centrée, structurée en masse, et la dynamique du substrat est modélisée par une équation différentielle ordinaire. Nous obtenons un processus markovien que nous décrivons à l-aide de mesures aléatoires. Nous déterminons, sous une certaine renormalisation du processus, un résultat de convergence en loi de ce modèle individu-centré hybride vers la solution d-un système d-équations intégro-différentielles. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à des modèles de dynamiques adaptatives du chemostat. Nous reprenons le modèle individu-centré étudié dans la première partie, auquel nous ajoutons un mécanisme de mutation. Sous des hypothèses de mutations rares et de grande population, les résultats asymptotiques obtenus dans la première partie nous permettent de réduire l-étude d-une population mutante à un modèle de croissance-fragmentation-soutirage en milieu constant. Nous étudions la probabilité d-extinction de cette population mutante. Nous décrivons également le modèle déterministe associé au modèle individu-centré hybride avec mutation et nous comparons les deux approches, stochastique et déterministe; notamment nous démontrons qu-elles mènent au même critère de possibilité d-invasion d-une population mutante dans une population résidente.Nous présentons des simulations numériques illustrant les résultats mathématiques obtenus.

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Keywords : Invasion fitness Adaptive dynamics Weak convergence Markovian processes

Mots-clés : Ibm Processus Markoviens Convergence faible Chemostat Dynamiques adaptatives Fitness d-invasion





Autor: Coralie Fritsch -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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