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1 ICJ - Institut Camille Jordan Villeurbanne

Abstract : We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d-Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d-Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l-infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d-une variété projective définie sur les réels. On s-intéresse dans ce cadre au lieu d-annulation réel Zd d-une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d-Euler de Zd quand d tend vers l-infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l-asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d-équidistribution de Zd dans M

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Keywords : Bergman kernel Kac–Rice formula Real projective manifold Random polynomials Riemannian random waves Random submanifolds Euler characteristic

Mots-clés : Noyau de Bergman Formule de Kac–Rice Variété projective réelle Polynômes aléatoires Ondes riemanniennes aléatoires Sous-variétés aléatoires Volume Caractéristique d’Euler





Autor: Thomas Letendre -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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