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en fr Algebraic properties of small and weakly small structures, Cantor-Bendixson rank and generalised topological spaces Propriétés algébriques des structures menues ou minces, rang de Cantor Bendixson, espaces topologiques g - Descarga este documento en PDF. Documentación en PDF para descargar gratis. Disponible también para leer online.

1 ICJ - Institut Camille Jordan Villeurbanne

Abstract : Abstract. Small structures appear in the -60s together with Vaught-s conjecture. Weakly small structures include both minimal and small structures. Definable sets in a weakly small structure are ranked by Cantor-Bendixson rank. We show computational properties of this rank, which imply a local descending chain condition on acl0-definable subgroups, and introduce a notion of local almost stabiliser. We deduce algebraic properties of weakly small structures. Among them, a weakly small field of positive characteristic is locally finite dimensional over its centre, and an infinite weakly small group has an infinite abelian subgroup. We then turn to small type-definable structures, showing that finitary small type 0-de nable groups are the intersection of definable groups. We extend the result to finitary small type 0- definable monoids, rings, fields, categories and groupoids. We give local definability results concerning groups and fields type definable over an arbitrary set of parameters in small and simple theories. Finally, we reintroduce the Cantor Bendixson rank in its topological context, and show that the Cantor derivative can be seen as a derivation in a semi-ring of topological spaces. In an attempt to find a global Cantor rank for stable structures, we try to eliminate the word denumerable, omnipresent when one does topology, by replacing it by a regular cardinal k. We develop the notions of k-metrisable space, k-topology, k-compactness etc. and show an analogue of Urysohn-s metrisability lemma and Cantor-Bendixson theorem.

Résumé : Les structures menues apparaissent dans les années 60 en lien avec la conjecture de Vaught. Les structures minces englobent à la fois les structures minimales et menues. Les ensembles définissables d-une structure mince sont rangés par le rang de Cantor-Bendixson. Nous présentons des propriétés de calcul de ce rang, une condition de chaîne descendante locale sur les groupes acl0-définissables ainsi qu-une notion de presque stabilisateur local, et en déduisons des propriétés algébriques des structures minces : un corps mince de caractéristique positive est localement de dimension finie sur son centre, et un groupe mince infini a un sous groupe abélien infini. Nous nous intéressons ensuite aux structures menues infiniment définissables, et montrons que les groupes d-arité finie infiniment 0-définissable sont l-intersection de groupes définissables. Nous étendons le résultat aux demi-groupes, anneaux, corps, catégories et groupoïdes infiniment 0-définissables, et donnons des résultats de définissabilité locale pour les groupes et corps simples et menus, infiniment définissables sur des paramètres quelconques. Enfin, nous réintroduisons le rang de Cantor dans son contexte topologique et montrons que la dérivée de Cantor peut être vue comme un opérateur de dérivation dans un semi-anneau d-espaces topologiques. Dans l-idée de trouver un rang de Cantor global pour les théories stables, nous essayons de nous débarrasser du mot dénombrable omniprésent lorsque l-on fait de la topologie, en le remplaçant par un cardinal régulier k. Nous développons une notion d-espace k-métrique, de k-topologie, de k-compacité etc. et montrons un k-analogue du lemme de métrisabilité d-Urysohn, et du théorème de Cantor-Bendixson.

en fr

Keywords : Topology Cantor-Bendixson rank Model theory Small group Weakly small group Type-definable group Field abelian Nilpotent

Mots-clés : Théorie des modèles Structure menue Structure mince Structure stable Structure simple Structure infiniment définissable Rang de Cantor-Bendixson Topologie Groupe abélien





Autor: Cédric Milliet -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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