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1 GALAAD - Geometry, algebra, algorithms CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée , UNS - Université Nice Sophia Antipolis, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique : UMR6621

Abstract : This thesis consists of two parts. The first one contains chapter 2 and 3 and is about the Hilbert scheme. These chapters correspond to joint works with M.E. Alonso and B. Mourrain : 3 and with P. Lella, B. Mourrain and M. Roggero : 10. We are interested in the equations that define it as a closed sub-scheme of the Grassman- nian and especially their degree. We will give new global equations, more simple than those already known. Chapter 2 is about the case of constant Hilbert polynomial equal to μ. First, we will briefly recall the defini- μ tions and propositions related to the Hilbert functor associated to μ, denoted by HilbPn . Then we will prove that it is representable, we will use a local approach and build a covering of open representable sub-functors whose equations correspond to commutation relations that characterize border basis. The scheme that repre- The second part of this thesis is concerned with tensors decomposition, chapter 4. We will begin with the sym- metric case which corresponds to a joint work with P. Comon, B. Mourrain and E. Tsigaridas : 9. We will extend the algorithm devised by Sylvester for the binary case. We will use a dual approach and give necessary and sufficient conditions for the existence of a decomposition of a given rank, using Hankel operators. We will deduce an algorithm for the symmetric case. Finally, we will conclude by studying the case of general tensors which corresponds to a joint work with A. Bernardi, P. Comon and B. Mourrain : 6. In particular, we will prove how the formalism that as been used so far for the symmetric case, can be extended to solve the problem. μμn sents HilbPn is called the Hilbert scheme associated to μ and is denoted by Hilb P . Then, thanks to the theorems of Persistence and Regularity of Gotzmann, we will give a global description of HilbμPn. We will provide a set of homogeneous equations of degree 2 in the Plücker coordinates that characterizes HilbμPn as a closed sub-scheme of the Grassmannian. We will finally conclude this chapter by studying the tangent plan of the Hilbert scheme. Chapter 3 deals with the general case of Hilbert scheme associated to a Hilbert polynomial P of degree d ≥ 0, denoted by HilbP Pn. We will generalize chapter 2, giving homogeneous equations of degree d + 2 in the Plücker coordinates. The second part of this thesis is concerned with tensors decomposition, chapter 4. We will begin with the symmetric case which corresponds to a joint work with P. Comon, B. Mourrain and E. Tsigaridas : 9. We will extend the algorithm devised by Sylvester for the binary case. We will use a dual approach and give necessary and sufficient conditions for the existence of a decomposition of a given rank, using Hankel operators. We will deduce an algorithm for the symmetric case. Finally, we will conclude by studying the case of general tensors which corresponds to a joint work with A. Bernardi, P. Comon and B. Mourrain : 6. In particular, we will prove how the formalism that as been used so far for the symmetric case, can be extended to solve the problem.

Résumé : Cette thèse est constituée de deux parties. La première regroupe les chapitres 2 et 3 et traite du schéma de Hilbert. Ces chapitres correspondent respectivement à des travaux en collaboration avec M.E. Alonso et B. Mourrain : 3 et avec P. Lella, B. Mourrain et M. Roggero : 10. Nous nous intéresserons aux équations qui le définissent comme sous-schéma fermé de la grassmannienne et plus précisément à leur degré. Nous fournirons ainsi de nouvelles équations globales, plus simples que celles qui existent déjà. Le chapitre 2 se concentre sur le cas des polynômes de Hilbert constants égaux à μ. Après avoir rappelé les définitions et propriétés élémen- μ taires du foncteur de Hilbert associé à μ, noté HilbPn , nous montrerons que celui-ci est représentable. Nous adopterons pour cela une approche locale et construirons un recouvrement ouvert de sous-foncteurs représen- tables, dont les équations correspondent aux relations de commutation qui caractérisent les bases de bord. Son représentant s-appelle le schéma de Hilbert associé à μ, noté HilbμPn. Nous fournirons ensuite, grâce aux théorèmes de Persistance et de Régularité de Gotzmann, une description globale de ce schéma. Nous donne- rons un système d-équations homogènes de degré 2 en les coordonnées de Plücker qui caractérise HilbμPn comme sous-schéma fermé de la Grassmannienne. Nous conclurons ce chapitre par une étude du plan tangent au schéma de hilbert en exploitant l-approche locale et les relations de commutation précédemment introduites. Le chapitre 3 traite le cas général du schéma de Hilbert associé à un polynôme P de degré d ≥ 0, noté HilbP Pn. Nous généraliserons le chapitre précédent en fournissant des équations globales homogènes de degré d + 2 en les coordonnées de Plücker. La deuxième partie de cette thèse concerne la décomposition de tenseurs, chapitre 4. Nous commencerons par étudier le cas symétrique, qui correspond à l-article 9 en collaboration avec P. Comon, B. Mourrain et E. Tsi- garidas. Nous étendrons pour cela l-algorithme de Sylvester proposé pour le cas binaire. Nous utiliserons une approche duale et fournirons des conditions nécessaires et suffisantes pour l-existence d-une décomposition de rang donné, en utilisant les opérateurs de Hankel. Nous en déduirons un algorithme pour le cas symétrique. Nous aborderons aussi la question de l-unicité de la décomposition minimale. Enfin, nous conclurons en étu- diant le cas des tenseurs généraux qui correspond à un article en collaboration avec A. Bernardi, P. Comon et B. Mourrain : 6. Nous montrerons en particulier comment le formalisme introduit pour le cas symétrique peut s-adapter pour résoudre le problème.

en fr

Keywords : Tensor

Mots-clés : Hilbert Tenseur Décomposition





Autor: Jerome Brachat -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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