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1 POMDAPI - Environmental Modeling, Optimization and Programming Models Inria Paris-Rocquencourt

Abstract : This thesis contributes to the development of numerical methods for flow and transport in porous media, in particular, by using space-time domain decomposition methods that enable the use of different time steps in the subdomains. In this work, we study two types of methods: one is based on a generalization of the Steklov-Poincaré operator to time-dependent problems and one is based on the Optimized Schwarz Waveform Relaxation OSWR method in which more general Robin or Ventcell transmission conditions are used to accelerate the convergence of the method. These two methods are derived in a mixed formulation, which is well-suited to problems arising in the modeling of flow and transport in porous media. We first consider the diffusion problem and formulate an interface problem on the space-time interfaces between the subdomains for each method. The well-posedness of the subdomain problem with either Dirichlet or Robin boundary conditions is shown. The convergence proofs of the OSWR algorithm and of the semi-discrete OSWR algorithm in mixed form with nonconforming time discretization are given. Numerical experiments in 2D comparing the performance of the two methods for strongly heterogeneous problems are carried out with a time-dependent Neumann-Neumann preconditioner with weight matrices being used to accelerate the first method. We then extend both methods to the advection diffusion equation where operator splitting is used to treat the advection and the diffusion differently. Separate transmission conditions for the advection equation and for the diffusion equation are derived. Using numerical results for various test cases, both advection-dominated and diffusion-dominated problems, we compare the convergence of the two methods and analyze the accuracy in time given by each when nonconforming time grids are used. Two prototypes for nuclear waste disposal simulation are considered and time windows are used for long-term simulation. We also consider the OSWR method with Ventcell transmission conditions extended to the mixed formulation. The subdomain problem with Ventcell boundary conditions is shown to be well-posed. We compare numerically, for a decomposition into two subdomains, the performance of the optimized Ventcell and Robin parameters for heterogeneous problems. We finally study extensions of the two methods to the case in which the interface represents a discrete-fracture in a reduced fracture model for flow in a fractured porous medium.

Résumé : Cette thèse présente une contribution aux développements de méthodes numériques pour la simulation d-écoulements en milieu poreux, en particulier par des méthodes de décomposition de domaine espace-temps qui permettent l-utilisation de pas de temps différents dans les différents sous-domaines. Nous étudions deux types de méthodes: la première est basée sur une généralisation de l-opérateur de Steklov-Poincaré au cas de problèmes dépendants du temps, et la seconde est basée sur la méthode de Relaxation d-Onde Optimisée de Schwarz OSWR dans laquelle des conditions de transmission plus générales Robin ou Ventcell sont utilisées pour accélérer la convergence de l-algorithme. Ces deux méthodes sont étudiées sur une formulation mixte qui est bien adaptée à la modélisation de l-écoulement et du transport en milieu poreux. Nous considérons tout d-abord un problème de diffusion et formulons, pour chaque méthode, un problème sur l-interface espace -temps entre les sous-domaines. Le caractère bien posé de ces problèmes, avec des conditions aux limites de Dirichlet ou de Robin, est démontré. Les preuves de convergence de l-algorithme OSWR et de sa version semi-discrète sous forme mixte sont également données. Des expériences numériques sont menées en 2D pour comparer les performances des deux méthodes sur des problèmes fortement hétérogènes, et un préconditionneur de Neumann-Neumann dépendant du temps permet d-accélérer la première méthode. Les deux méthodes sont ensuite étendues au cas d-une équation d-advection-diffusion, l-advection et la diffusion étant traitées séparément grâce une technique de séparation d-opérateurs, ce qui permet d-utiliser des pas de temps différents pour les deux phénomènes dans chaque sous-domaine. Des conditions de transmission sont proposées séparément pour l-advection et pour la diffusion. La convergence des méthodes est étudiée sur des exemples numériques, pour des problèmes en régime d-advection dominante ou de diffusion dominante, et leur précision en temps est étudiée dans le cas de grilles non-conformes en temps. Deux exemples inspirés de la simulation du stockage de déchets nucléaires sont étudiés, et la simulation sur des temps longs est réalisée par l-intermédiaire de fenêtres en temps. Nous considérons également la méthode OSWR avec des conditions de transmission de Ventcell, étendues à la formulation mixte. Nous démontrons que les problèmes de sous-domaine avec des conditions aux limites de Ventcell sont bien posés. Nous comparons les performances des paramètres optimisés pour Ventcell et Robin dans le cas de problèmes hétérogènes pour une décomposition en deux sous-domaines. Enfin, nous étudions l-extension des deux méthodes au cas où l-interface représente une fracture pour un modèle réduit d-écoulement dans un milieu poreux fracturé.

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Keywords : space-time domain decomposition mixed formulations flow and transport in porous media heterogeneous problems time-dependent Steklov-Poincaré operator optimized Schwarz waveform relaxation nonconforming time grids

Mots-clés : décomposition de domaines espace-temps formulation mixte écoulement et transport en milieu poreux problèmes hétérogènes opérateur de Steklov-Poincaré dépendant du temps Relaxation d-Onde de Schwarz Optimisée grilles en temps non-conformes fractures.





Autor: Thi Thao Phuong Hoang -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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