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1 UL - Université de Lorraine 2 Uni.lu - Université du Luxembourg

Abstract : The purpose of this work is the analysis of financial models, especially for option pricing, interest rates and credit risk, with stochastic processes having memory and eventually discontinuities, characteristics which can be observed frequently in the statistical evaluation of financial data. Fractional Brownian motion seems to be a natural tool for modeling continuous phenomena with memory. However, contrary to the classical models which are usually formulated in terms of Brownian motion or Levy processes and analysed with the Itô stochastic calculus, the models with fractional Brownian motion requirea di fferent approach and more advanced methods of analysis. Moreover, questions of pricing under non arbitrage conditions with a fractional Brownian motion cannot be treated by the fundamental theorem of asset pricing which holds true only in the class of semimartingales. First, stochastic calculus for classes of jump processes with memory in the jump times is studied. Fractional or filtered Lévy processes are considered with diff erent regularity assumptions on the kernel, especially with the assumption which implies that fractional Lévy processes are semimartingales. An Itô formula is proven and a chaos decomposition is considered. Filtered doubly stochastic Lévy processes are investigated as well. Then financial models formulated with these processes are considered. Risk neutral probability measures are studied for fractional Black-Scholes models with jumps, which are modeled by fi ltered doubly stochastic Poisson processes. Stochastic interest rates are modeled in terms of stochastic di fferential equations driven by continuous mixed processes, in particular the Vasicek, the Cox-Ingersoll-Ross and the Heath-Jarrow-Morton models. It is shown that arbitrage free pricing of interest rate derivatives can be carried out by solving random partial di fferential equations. Finally credit risk models are studied.

Résumé : Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d-options, les taux d-interêts et le risque de crédit, dirigés par des processus stochastiques à mémoire et avec discontinuités, des propriétés qu-on observe fréquemment dans les données financières. Le mouvement brownien fractionnaire est un outil naturel pour modéliser la mémoire dans le cadre des processus continus, mais l-analyse stochastique ne peut en général pas se faire par le calcul d-Itô qui est appliqué aux modèles classiques formulés en termes du mouvement brownien ou des processus de Lévy; le mouvement brownien fractionnaire exige des méthodes d-analyse plus avancées. En plus, le théorème fondamental de la fi nance sur le pricing sous des conditions d-absence d-arbitrage est valable pour les semi-martingales et ne s-applique donc pas au brownien fractionnaire. Dans ce travail nous étudions d-abord le calcul stochastique pour des classes de processus avec mémoire dans le temps des sauts. Nous considérons les processus de Lévy filtrés ou fractionnaires sous diff érentes hypothèses sur la régularité des noyaux, en particulier sous l-hypothèse qui implique que le processus de Lévy filtré est une semi-martingale, et nous démontrons une formule d-Itô et une formule de Clark-Ocone. Les processus de Lévy fi ltrés doublement stochastiques sont également étudiés. Dans la suite nous nous intéressons aux probabilités risque neutre pour le modèle de Black - Scholes avec sauts modélises par un processus de Poisson fi ltré doublement stochastique. Nous étudions également des modèles de taux d-intérêts en termes d-équations diff érentielles stochastiques, en particulierles modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Nous montrons que les prix des options sur des taux d-intérêt peuvent être déduits d-équations aux dérivées partielles aléatoires. Finalement nous étudions le risque de crédit.

en fr

Keywords : fractional Brownian motion semimartingale kernel fractional Lévy process filtered doubly stochastic Lévy process Itô formula Clark-Ocone formula fractional Black-Scholes model with jumps interest rate models Vasicek Cox-Ingersoll-Ross Heath-Jarrow-Morton credit risk models

Mots-clés : mouvement Brownien fractionnaire noyau de semimartingale processus de Lévy fractionnaire processus de Lévy filtré doublement stochastique formule d-Itô formule de Clark-Ocone modèle de Black-Scholes fractionnaire avec sauts modèles de taux d-intérêt Vasicek Cox-Ingersoll-Ross Heath-Jarrow-Morton modèle du risque de crédit





Autor: Sami El Rahouli -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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