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1 CMLS - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

Abstract : Our first goal in this report is the comparison of the two Lie perturbation methods used in hamiltonian mechanics. The Deprit as well as the Dragt-Finn method are based on the use of canonical formal transformations. We particularly study the relations between these two transformations and conclude that they produce the same objects, for instance the normal form and formal first integrals. Therefore, we give methods to built such invariants and show that the Dragt-Finn method is less expansive, regards to the computational cost.The knowledge of the first terms of these series may provide results for the stability of hamiltonian systems near an elliptic equilibrium point. We give some estimates for the Dragt-Finn method, like it has been given for the Deprit transform. In order to study the relations between several canonical transform, we work in a free Lie algebra and study exponential identities. We give also general methods to compute these relations including the Baker-Campbell-Hausdorff formula using the Lyndon basis. These explicit identities and their methods of computation allow us to obtain symplectic integrators. We list all the integrators of low order and prove that the several methods of investigation are totally equivalent. The algorithms have been implemented using Axiom and some examples are given at the appendix.

Résumé : Le but premier de cette thèse est de comparer les deux méthodes de Lie utilisées en théorie des perturbations en mécanique hamiltonienne~: la méthode de Deprit et la méthode de Dragt-Finn. Toutes deux reposent sur l-utilisation de transformations canoniques symplectiques formelles. On étudie en particulier les liens entre ces deux approches pour conclure qu-elles conduisent, dans les cas non-résonants, \`a la construction des mêmes objets forme normale et intégrales premières formelles. On propose, par la suite, des méthodes de construction de tels objets et on observe que la méthode de Dragt-Finn est moins coûteuse.La connaissance des premiers termes de ces séries de Lie peut fournir des informations sur la stabilité de systèmes hamiltoniens, au voisinage de points d-équilibre elliptiques. On propose, à l-instar de ce qui a été fait avec la transformation de Lie, des estimations pour celle de Dragt-Finn.Pour étudier les relations entre les différentes transformations canoniques, on se place dans une algèbre de Lie libre pour étudier des identittés exponentielles. On donne alors des méthodes générales pour l-obtention de telles formules dont la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, en utilisant des propriétés de la base de Lyndon.Ces identités explicites et leur méthode de calcul permettent alors d-obtenir des intégrateurs symplectiques. On retrouve alors les intégrateurs connus et on en donne une liste exhaustive pour les petits ordres, montrant que les différentes méthodes de recherches sont complètement équivalentes.On décrit l-implantation de ces algorithmes dans le système de Calcul Formel Axiom et des exemples de calcul sont donnés en appendice.

en fr

Keywords : Lie methods perturbation methods free Lie algebras canonical transformations computer algebra symplectic integrators

Mots-clés : transformations canoniques algèbres de Lie libres méthodes de perturbations méthodes de Lie calcul formel intégrateurs symplectiques





Autor: Pierre-Vincent Koseleff -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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