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1 MAPMO - Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans

Abstract : Functional data analysis is a typical issue in modern statistics. During the last years, many papers have been devoted to theoretical results or applied studies on models involving functional data. In this manuscript, we focus on regression models where a real response variable depends on a functional random variable taking its values in an infinite dimensional space. We state various kinds of results linked with the asymptotic properties of the nonparametric kernel estimator generalized to the case of a functional explanatory variable. We firstly assume that the dataset under study is composed of strongmixing variables and focus on a nonparametric regression model. A first result gives asymptotic normality of the kernel estimator with explicit expressions of the asymptotic dominant bias and variance terms. On one hand, we propose from this result a way to construct asymptotic pointwise confidence bands and study their properties on simulation studies and apply our method on a dataset dealing with El Niño phenomenon. On the other hand, we decline from both asymptotical normality and uniform integrability results the explicit expressions of the asymptotic dominant terms of centered moments and Lp errors of the kernel estimator. We now assume that the dataset is composed of independent random variables and focus on structural testing procedures in regression on functional data. We construct a test statistic based on the comparison between the nonparametric kernel estimator and a particular one that must be chosen in accordance to the null hypothesis we want to test. We then state both asymptotic normality of our test statistic under the null hypothesis and its divergence under the alternative. Moreover, we prove our result under general conditions that enable to use our approach to construct innovative structural tests allowing to check if the regression operator is linear, single index, . . . Different bootstrap procedures are proposed and compared through various simulation studies. Finally, we focus on no effect tests and apply our testing procedures on two spectrometric datasets.

Résumé : Au cours des dernières années, la branche de la statistique consacrée à l-étude de variables fonctionnelles a connu un réel essor tant en terme de développements théoriques que de diversification des domaines d-application. Nous nous intéressons plus particulièrement dans ce mémoire à des modèles de régression dans lesquels la variable réponse est réelle tandis que la variable explicative est fonctionnelle, c-est à dire à valeurs dans un espace de dimension infinie. Les résultats que nous énonçons sont liés aux propriétés asymptotiques de l-estimateur à noyau généralisé au cas d-une variable explicative fonctionnelle. Nous supposons pour commencer que l-échantillon que nous étudions est constitué de variables α-mélangeantes et que le modèle de régression est de nature nonparamétrique. Nous établissons la normalité asymptotique de notre estimateur et donnons l-expression explicite des termes asymptotiquement dominants du biais et de la variance. Une conséquence directe de ce résultat est la construction d-intervalles de confiance asymptotiques ponctuels dont nous étudions les propriétés aux travers de simulations et que nous appliquons sur des données liées à l-étude du courant marin El Niño. On établit également à partir du résultat de normalité asymptotique et d-un résultat d-uniforme intégrabilité l-expression explicite des termes asymptotiquement dominants des moments centrés et des erreurs Lp de notre estimateur. Nous considérons ensuite le problème des tests de structure en régression sur variable fonctionnelle et supposons maintenant que l-échantillon est composé de variables indépendantes. Nous construisons une statistique de test basée sur la comparaison de l-estimateur à noyau et d-un estimateur plus particulier dépendant de l-hypothèse nulle à tester. Nous obtenons la normalité asymptotique de notre statistique de test sous l-hypothèse nulle ainsi que sa divergence sous l-alternative. Les conditions générales sous lesquelles notre résultat est établi permettent l-utilisation de notre statistique pour construire des tests de structure innovants permettant de tester si l-opérateur de régression est de forme linéaire, à indice simple, . . . Différentes procédures de rééchantillonnage sont proposées et comparées au travers de diverses simulations. Nos méthodes sont enfin appliquées dans le cadre de tests de non effet à deux jeux de données spectrométriques.

en fr

Keywords : regression-functional variable-nonparametric-asymptotic normality- Lp erros-structural test-bootstrap methods-no-effect test

Mots-clés : test de non-effet méthodes de rééchantillonnage tests de structure régression variable fonctionnelle non-paramétrique normalité asymptotique erreurs Lp





Autor: Laurent Delsol -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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