en fr Mathematical and numerical studies of parabolic problems with boundary conditions. Etudes mathématiques et numériques des problèmes paraboliques avec des conditions aux limites Reportar como inadecuado




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1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Abstract : This thesis focuses on the theoretical study and numerical analysis of parabolic equations with boundary conditions. The first part is devoted to degenerate parabolic equation which combines features of a hyperbolic conservation law with those of a porous medium equation. We define suitable notions of entropy solutions for each of the boundary conditions zero-flux, Robin, Dirichlet. The main difficulty in these studies resides in the formulation of the adequate notion of entropy solution and in the proof of uniqueness. There is a technical difficulty due to the lack of regularity required to treat the boundaries terms. We take advantage of the fact that boundary regularity results are easier to obtain for the stationary problem, in particular in one space dimension. Thus, using strong-weak uniqueness approach we get the uniqueness with the choice of a non-symmetric test function and using the nonlinear semigroup theory. The existence of solution is proved in two steps, combining the method of parabolic regularization and Galerkin approximations. Next, we develop a direct approach to construct approximate solutions by an implicit finite volume scheme. In both cases, the estimates in the appropriately chosen functional spaces are combined with arguments of weak or strong compactness and various tricks to pass to the limit in nonlinear terms. In the appendix, we propose a result of existence of strong trace of a solution for the degenerate parabolic problem. In another appendix of independent interest, we introduce a new concept of solution called \emph{integral process solution}. We exploit it to overcome the difficulty of proving the convergence of our finite volume scheme to an entropy solution for the zero-flux boundary problem. The second part of this thesis deals with a free boundary problem describing the propagation of a combustion front and the evolution of the temperature in a heterogeneous medium. So we have a coupled problem consisting of the heat equation of bidimensional space and a Hamilton-Jacobi equation. The objective is to construct a numerical scheme and to verify that the numerical solution converges to a wave solution for a long time. Recall that an existence of wave solution for this problem was already proven in an analytical framework. At first, we focus on the study of a one-dimensional problem. Here, we face a problem of stability of the scheme. This is due to a difficulty of taking into account the Neumann boundary condition. Through a technique of change of unknown, we can propose a monotone scheme. We also adapt this technique for solving two-dimensional problem. Using a change of variables, we obtain a fixed domain where the discretization becomes easy. The monotony of the scheme is proved under an additional assumption of monotone propagation that requires the free boundary moves in the directions of a cone given beforehand.

Résumé : Cette thèse est centrée autour de l-étude théorique et de l-analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites flux nul, Robin, Dirichlet. La difficulté principale dans l-étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d-unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d-espace. Ainsi par la méthode de comparaison -fort-faible- nous arrivons à déduire l-unicité avec le choix d-une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires. L-existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l-objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d-un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d-un problème à frontière libre décrivant la propagation d-un front de combustion et l-évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s-agit d-un système d-équations couplées constitué de l-équation de la chaleur bidimensionnelle et d-une équation de type Hamilton-Jacobi. L-objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l-étude d-un problème unidimensionnel. Très vite, nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d-inconnue et d-approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l-aide d-un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d-un cône prescrit à l-avance.

en fr

Keywords : Degenerate parabolic problem Stationary problem Entropy solution Integral solution Nonlinear semigroup theory Finite volume scheme Free boundary problem Hamilton-Jacobi equation Finite element method Monotone scheme Wave solution

Mots-clés : problème parabolique dégénéré problème stationnaire solution entropique solution intégrale théorie de semi-groupes non linéaires méthode des volumes finis problème à frontière libre équation de Hamilton-Jacobi méthode d-éléments finis conforme schéma monotone solution onde





Autor: Mohamed Karimou Gazibo -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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