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1 APICS - Analysis and Problems of Inverse type in Control and Signal processing CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée

Abstract : The thesis consists of three parts.In Part I, we consider partially overdetermined boundary-value problemS for Laplace PDE in a planar simply connected domain with Lipschitz boundary. Assuming Dirichlet and Neumann data available on its part to be real-valued functions of certain regularity, we develop a non-iterative method for solving this ill-posed Cauchy problem choosing as a regularizing parameter L2 bound of the solution on complementary part of the boundary. The present complex-analytic approach also naturally allows imposing additional pointwise constraints on the solution which, on practical side, can help incorporating outlying boundary measurements without changing the boundary into a less regular one. Part II is concerned with spectral structure of a truncated Poisson operator arising in various physical applications. We deduce important properties of solutions, discuss connections with other problems and pursue different reductions of the formulation for large and small values of asymptotic parameter yielding solutions by means of solving simpler integral equations and ODEs.In Part III, we deal with a particular inverse problem arising in real physical experiments performed with SQUID microscope. The goal is to recover certain magnetization features of a sample from partial measurements of one component of magnetic field above it. We develop new methods based on Kelvin and Fourier transformations resulting in estimates of net moment components.

Résumé : La thèse se compose de 3 parties.Dans la partie I, nous considérons des problèmes à la frontière pour une EDP de Laplace dans un domaine simplement connexe de bord Lispschitz continu. Depuis des données Dirichlet et Neumann suffisamment régulières disponibles sur une partie de la frontière, nous développons une méthode non-itérative de résolution de ce problème de Cauchy, régularisé par une contrainte en norm L2 portant sur la solution sur la partie complémentaire du bord. Notre approche par les fonctions analytiques de la variable complexe permet d-imposer des contraintes ponctuelles supplémentaires possédant un intêret pratique pour incorporer des mesures corrompues.La partie II concerne la structure spectrale d-un opérateur de Poisson tronqué intervenant dans diverses applications physiques. Nous établissons d-importantes propriétés des solutions, des connexions avec d-autres problèmes, ainsi que, pour des valeurs asymptotiques d-un paramètre, des formulations sous forme d-autres équations intégrales ou EDO solubles. Dans la partie III, nous traitons un problème inverse particulier issu d-expériences pratiques effectuées avec un microscope SQUID. Depuis des mesures partielles de la composante verticale du champ magnétique, le but est de retrouver certaines propriétés de l-aimantation d-un échantillon de roche. Nous présentons de nouvelles méthodes utilisant les transformations de Kelvin et de Fourier pour l-estimation du moment magnétique.

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Keywords : Inverse problems Integral Equations Riemann-Hilbert problems Toeplitz operators Bounded extremal problems Convolution equations Hardy Spaces Magnetization

Mots-clés : Problèmes inverses





Autor: Dmitry Ponomarev -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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