A tight colored Tverberg theorem for maps to manifolds extended abstractReport as inadecuate




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1 SANU - Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts 2 FU Berlin - Institut für Mathematik

Abstract : Any continuous map of an $N$-dimensional simplex $Δ N$ with colored vertices to a $d$-dimensional manifold $M$ must map $r$ points from disjoint rainbow faces of $Δ N$ to the same point in $M$, assuming that $N≥r-1d+1$, no $r$ vertices of $Δ N$ get the same color, and our proof needs that $r$ is a prime. A face of $Δ N$ is called a rainbow face if all vertices have different colors. This result is an extension of our recent -new colored Tverberg theorem-, the special case of $M=ℝ^d$. It is also a generalization of Volovikov-s 1996 topological Tverberg theorem for maps to manifolds, which arises when all color classes have size 1 i.e., without color constraints; for this special case Volovikov-s proofs, as well as ours, work when r is a prime power.

Résumé : Étant donné un simplex $Δ N$ de dimension $N$ ayant les sommets colorés, une face de $Δ N$ est dite arc-en-ciel, si tous les sommets de cette face ont des couleurs différentes. Toute fonction continue d-un simplex $Δ N$ de dimension $N$ aux sommets colorés vers une variété $d$-dimensionnelle $M$ doit envoyer $r$ points provenant de faces arc-en-ciel disjointes de $Δ N$ au mêmes points dans $M$ ; en supposant que $N ≥r-1d +1$, un ensemble de $r$ sommets de $Δ N$ doit être coloré à l-aide d-au moins deux couleurs. Notre démonstration requiert que $r$ soit un nombre premier. Ce résultat est une extension de notre -nouveau théorème de Tverberg coloré-, le cas particulier où $M = ℝ^d$. Il est également une généralisation du théorème de Tverberg topologique de Volovikov datant de 1996, pour les fonctions vers une variété, dont les classes de couleurs sont de taille 1 c-est-à-dire sans contraintes de couleur. Dans ce cas particulier, la démonstration de Volovikov et la nôtre fonctionnent lorsque r est une puissance d-un premier.

Keywords : equivariant algebraic topology convex geometry colored Tverberg problem configuration space-test map scheme group cohomology





Author: Pavle V. M. Blagojević - Benjamin Matschke - Günter M. Ziegler -

Source: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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