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1 IRCCyN - Institut de Recherche en Communications et en Cybernétique de Nantes

Abstract : In order to analyse signals with variable regularity, it is necessary to use tools that characterize their regularity at one given point. The 2-microlocal frontier supplies a very general viewpoint on these tools. To each point of the definition domain of a function is associated a curve that characterizes in a very complete way its regularity at this point, and that contains in particular the information given by the regularity exponents. We recall in a first part the original definition and the properties of the 2-microlocal frontier.In the second part, we give a -time-domain- form of the 2-microlocal frontier that allows to consider it as a natural generalization of Hölder exponents. We show its properties directly from that expression. We also introduce a -time-domain 2-microlocal spectrum- that makes its calculation easier and treat a few examples.In the third part, we clarify the parallelism between 2-microlocal spectrum and multifractal spectrum and prove in the same general frame the 2-microlocal formalism and the weak multifractal formalism. Moreover, we show in this common frame new results that concern their prescription.In the fourth part, we apply 2-microlocal analysis to signal denoising. We suggest a denoising method that allows to recover the initial global regularity of the signal and a denoising method allows to recover the 2-microlocal spectrum at one point. The methods are illustrated by numerical applications on classical functions.Finally, we show in the last part an applied work that was done in collaboration with the ENILIA Surgères: fractal tools characterizing global regularity are applied to the classification of microscopical butter images.

Résumé : Afin d-analyser des signaux dont la régularité varie, il est nécessaire d-utiliser des outils caractérisant leur comportement en un point.La frontière 2-microlocale donne un point de vue général sur ces outils. A chaque point du domaine de définition d-une fonction est associée une courbe qui caractérise de façon complète sa régularité en ce point. Nous rappelons dans une première partie sa définition et ses propriétés.Dans la deuxième partie, nous en donnons une forme -temporelle- qui permet de la considérer comme une généralisation naturelle des exposants de Hölder. Nous montrons ses propriétés directement à partir de cette expression. Nous introduisons également un spectre 2-microlocal en temps qui facilite son calcul et traitons quelques exemples.Dans la troisième partie, nous explicitons un cadre commun au le spectre 2-microlocal et au spectre multifractal. Nous montrons dans ce cadre commun des résultats nouveaux concernant leur prescription. Dans une quatrième partie, nous appliquons l-analyse 2-microlocale au débruitage de signaux. Nous proposons une méthode permettant de retrouver la régularité globale, puis une méthode permettant de retrouver le spectre 2-microlocal initial en un point, et d-éviter ainsi les oscillations. Les méthodes de débruitages sont illustrées par des applications numériques sur des fonctions classiques.Enfin, nous exposons dans la dernière partie un travail, de nature appliquée, effectué en collaboration avec l-ENILIA Surgères : il s-agit de l-application d-outils fractals décrivant la régularité globale à la classification automatique d-images microscopiques de beurre.

en fr

Keywords : Regularity analysis Hölder exponents 2-microlocal frontier multifractal formalism denoising wavelets agro-alimentary images

Mots-clés : analyse de régularité exposants de Hölder frontière 2-microlocale formalisme multifractal débruitage ondelettes images agro-alimentaires





Autor: Antoine Echelard -

Fuente: https://hal.archives-ouvertes.fr/



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