Some results for nonlocal elliptic and parabolic nonlinear equationsReportar como inadecuado




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Profesor guía

Felmer Aichele, Patricio; - Barles, Guy; - Resumen

\quad Esta tesis est\-a dedicada al estudio de propiedades cualitativas de ecuaciones el\-ipticas degeneradas donde la difusi\-on es puramente no local, y se lleva a cabo en el contexto de la teor\-ia de soluciones viscosas.La primera parte de la tesis trata el estudio de propiedades de compacidad de una familia de \textsl{operadores no locales de orden cero},es decir, operadores el\-ipticos no locales definidos a trav\-es de una medida finita. Consideramos un familia uni-param\-etrica de operadores de orden cero de la forma\begin{eqnarray*}\mathcal{I} \epsilonu, x = \int {\mathbb{R}^N} ux + z - uxK \epsilonzdz,\end{eqnarray*}donde, para cada $\epsilon \in 0,1$, $K \epsilon \in L^1\mathbb{R}^N$ es una funci\-on radialmente sim\-etrica y positiva.Configuramos nuestro problema de manera que $\mathcal{I} \epsilon$ aproxime el Laplaciano fraccionario cuando $\epsilon \to 0^+$, lo que implica que la norma $L^1$ de $K \epsilon$ es no acotada a medida que $\epsilon \to 0^+$. Como primer resultado de esta parte obtenemos un m\-odulo de continuidad en espacio-tiempo para la familia de soluciones acotadas de la ecuaci\-on del calor no local en el plano asociada a $\mathcal{I} \epsilon$ que es independiente de$\epsilon \in 0,1$. El segundo resultado de esta parte considera un problema de Dirichlet en un dominio acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ asociado a $\mathcal{I} \epsilon$, y concluimos la compacidad de la familia de soluciones acotadas $\{u \epsilon \} \epsilon$ para estos problemas de Dirichlet encontrando un m\-odulo de continuidad com\-un en $\bar{\Omega}$ para $\{ u \epsilon \} \epsilon$, que es independiente de $\epsilon$. \medskipLa segunda parte de la tesis est\-a relacionada con la existencia y unicidad, regularidad y comportamiento a grandes tiempos para ecuaciones no locales con t\-erminos de gradiente dominantes. Comenzamos con la existencia y unicidad de una ecuaci\-on de Hamilton-Jacobide la forma\begin{equation*}\begin{array}{rll}\lambda u - \mathcal{I}u + Hx, Du and = 0 \quad and \mbox{en} \ \Omega \\ u and = \varphi \quad and \mbox{en} \ \Omega^c,\end{array}\end{equation*}donde el Hamiltoniano $H$ tiene una \textsl{forma de Bellman}. Estructuramos el problema de manera que el operador no local$\mathcal{I}$ es de orden menor que $1$ y por lo tanto puede aparecer una p\-erdida de la condici\-on de borde.En la segunda secci\-on de esta parte, consideramos $H$ coercivo con un crecimiento en el gradiente m\-as fuerte que el orden de la difusi\-on del operador no local. El resultado principal en este caso es la continuidad H\-older para \textsl{subsoluciones} para este problema.Estabilidad de las estimaciones de regularidad cuando $\lambda \to 0$ permiten concluir el comportamiento asint\-otico erg\-odico cuando$t \to \infty$ para el problema parab\-olico asociado en el toro. En esta tarea, principios del m\-aximo fuertes son de importancia mayoren el an\-alisis asint\-otico. Finalmente, adaptamos los resultados obtenidos en las primeras dos secciones de esta parte de la tesis para obtenerel comportamiento a grandes tiempos para el problema de Cauchy-Dirichlet asociado a $H$ en las formas Bellman y coercivo.En este caso, la influencia del dato exterior en la ecuaci\-on a trav\-es del t\-ermino no local hace que el problema parab\-olico aproxime al correspondiente problema estacionario cuando $t \to \infty$.Nota general

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática



Autor: Topp Paredes, Erwin; -

Fuente: http://repositorio.uchile.cl/



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