Capítulo 2. Politopos- Rotaciones multidimensionales generales - Departamento de Computación, Electrónica y Mecatrónica.

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Capítulo 2. Politopos- Rotaciones multidimensionales generales - Departamento de Computación, Electrónica y Mecatrónica. - Maestría en Ciencias de la Computación. - Escuela de Ingeniería y Ciencias - Universidad de las Américas Puebla.
Autor:
Cruz Matías, Irving Alberto
Fuente: http://catarina.udlap.mx/
Introducción
Capítulo 2: Politopos
Un politopo es la generalización del concepto Polígono (2D), o poliedro (3D) a
cualquier otra dimensión.
Geométricamente un politopo es una región finita de un espacio
n-dimensional encerrado por un número finito de hiperplanos.
La parte de un politopo que
se sitúa en uno de los hiperplanos, es llamada celda, y todas las celdas del politopo forman
la “frontera” del mismo.
Si los puntos medios de todas las aristas que salen de un vértice
dado v de un politopo, están en un hiperplano, estos son los vértices de un politopo de
dimensión (n-1), llamado figura vértice del politopo original en v [Hausmann 94].
2.1 Politopos Regulares
Los politopos regulares han sido materia estudios matemáticos desde hace mucho
tiempo, en dos dimensiones estos son los polígonos regulares (con todos sus lados y
ángulos iguales), en tres dimensiones estos son los poliedros regulares, también conocidos
como sólidos platónicos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro) y
en cuatro dimensiones existen seis politopos regulares (simplex 4D, hipercubo 4D, 16celdas, 24-celdas, 120-celdas y 600-celdas).
En dimensiones superiores existen solo tres politopos regulares “canónicos”, el
simplex, el hipercubo y el politopo cruz [Coxeter 63].
Se pueden definir los politopos regulares inductivamente de la siguiente forma: Un
politopo se dice que es regular si todas sus celdas son regulares y hay una figura vértice
regular en cada vértice [Coxeter 63].
En un politopo regular todas las celdas son iguales
entre sí, similarmente, las figuras vértice de todos los vértices del politopo son iguales.
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2.1.1 Ángulos
Antes de continuar con la explicación de los politopos, se definen algunos de los
ángulos entre elementos geométricos (rectas, planos e hiperplanos) en el espacio nD.
2.1.1.1 Ángulo Entre Dos Rectas
En 2D, el ángulo (rectilíneo) es la porción del plano limitada por dos rectas con
origen en un mismo punto llamad...