Problemas de geometria diferencial clasicaReportar como inadecuado




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Fuente: http://www.libroteca.net/


Introducción



Problemas de Geometrı́a Diferencial Clásica, Grupo “B”, 2004-2005 1.- a) Sean p = (p1 , p2 ) y q = (q1 , q2 ) dos puntos distintos de IR2 .
Encontrar la expresión de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa por p y por q.
Para cada t0 ∈ IR, calcular la expresión de la recta tangente a α en t0 . b) Sea P(a) la parábola de ecuación y = ax2 , esto es, P(a) = {(x, y) ∈ IR2 ; y = ax2 }. Encontrar la expresión de una curva parametrizada α cuya traza sea P(a).
Para cada t0 ∈ IR calcular la expresión de la recta tangente a α en t0 .
Dibujar las parábolas para los valores de a ∈ {−2, −1, − 12 , 0, 12 , 1, 2}.
En la parábola con a = 1, dibujar las rectas tangentes en t0 = 1, t0 = 2. 2 2 2.- Sea E(a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E(a,b) = {(x, y) ∈ IR2 ; xa2 yb2 = 1}. a) Demostrar que α(t) = (a cos t, b sen t) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E(a,b) y encontrar la condición necesaria y suficiente para que los números reales t0 , t1 verifiquen α(t0 ) = α(t1 ). b) Para cada t0 ∈ IR calcular la recta rt0 ≡ {α(t0 ) λα (t0 ); λ ∈ IR}.
Demostrar que si α(t0 ) = α(t1 ) entonces α (t0 ) = α (t1 ), y por tanto, para cada p ∈ E(a,b) podrı́a definirse la recta tangente en p como cualquiera de las rectas rt0 , con t0 ∈ IR tal que α(t0 ) = p. c) Dibujar las elipses para los valores a = 1, b = 2; a = 1, b = 4; a = 2, b = 1.
Dibujar también en alguna de ellas las rectas tangentes en t = 0, t = π4 , t = π2 . d) Encontrar una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p ∈ IR2 y radio a 0. 3.- A continuación tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas.
Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas, asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) = (t − 2sen t, 1 − 2 cos t), t t b) β(t) = e 20π cos t, e 20π sen t ,   cos t sen t cos t c) γ(t) = 1 sen 2 t , 1 sen 2 t . (3) 4 (1) 2 ...





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